总结不等式的证明方法

http://www.economicdaily.com.cn 时间:2015-02-14 10:54 字号:

不等式证明方法的归纳小结

教学目的:分类地归纳小结不等式的证明方法

教学重点:通过不等式的证明,提高推理证明能力

教学难点:根据不等式的特征恰当地使用不等式的证明方法

教学过程:

(一)不等式的内容

1.不等式的性质;2.不等式的证明;3.不等式的解法

(二)证明不等式是解不等式的理论基础——不等式的性质(基本 )

(三)证明不等式常用的基本方法

1.比较法

(1)作差法

a>b a-b>0

理论根据 a=b a-b=0

a

一般步骤:作差——变形——判断符号

常常用之证明较高的不等式或分式不等式

例:已知:a,b∈R+,且a≠b

求证:a5+b5>a3b2+a2b3

(2)作商法

2.综合法——“由因导果”(实质)

理论根据 a2≥0即a2∈{0}∪R+

此种方法常用到的重要不等式

a2+b2≥2ab (a,b∈R)

(a,b∈R+)

a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)

(a,b,c∈R+)

例如:证明:a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

要根据不等式的特征,运用重要不等式,注意条件是否具备

3.分析法——“执果索因”(实质)

思想方法解题格式

为了证明……

只需证明……

……

因为……成立

所以……也成立

例如:证明: (a≥3)

分析法在思考上优于综合法易于寻找证明的思路,综合法在证明过程中书写表达条理,故常将两法综合使用,进行记忆较好。

4.反证法

思想方法:为了证明A>B成立,假设AB成立。

5.放缩法

理论根据 a>b且b>c a>c

例:已知a,b,c,d为正数,

求证:1< <2

证明:由a,b,c,d为正数,则有

> =1

< =2

∴原不等式成立

练习:证明: (n∈N*且n≥2)

证明:由k∈N*且2≤k≤n,则有

=

6.数学归纳法

证明一些与自然数有关的不等式。

作业:解答课堂例练习题