向量中的三角形“四心”问题

http://www.economicdaily.com.cn 时间:2015-02-15 14:26 字号:

 学习向量的加减法离不开三角形,三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分,你知道它们的向量表示吗?你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足,则点O为△ABC的垂心。

证明:由,得,即,所以。同理可证。故O为△ABC的垂心。

结论2:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足 ,则点O为△ABC的垂心。

证明:由,得,所以。同理可证。容易得到由结论1O为△ABC的垂心。

结论3:若点G为△ABC所在的平面内一点,满足,则点G为△ABC的重心。

证明:由,得。设BC边中点为M,则 ,所以,即点G在中线AM上。设AB边中点为N,同理可证G在中线CN上,故点G为△ABC的重心。

结论4:若点G为△ABC所在的平面内一点,满足,则点G为△ABC的重心。

证明:由,得,得。由结论3知点G为△ABC的重心。

结论5:若点P为△ABC所在的平面内一点,并且满足 ,则点P为△ABC的内心。

证明:由于,可得。设与同方向的单位向量为,与同方向的单位向量为,则。因为为单位向量,所以向量在∠A的平分线上。由,知点P在∠A的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。

故点G为△ABC的内心。

结论6:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足 ,则点O为△ABC的外心。

证明:因为,所以

同理得由题意得,所以,得。故点O为△ABC的外心。

说明:以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示,而且是向量加减法应用的很好典例,值得大家关注。